Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Paso 1

Reescribe $8$ como $9$ más $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Paso 6

Reescribe $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ como $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$