Cálculo Ejemplos

$\int (\sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \sqrt[3]{x} + \cos (2 x + 5) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \cos (2 x + 5) d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (2 x + 5) d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x + 5$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Paso 8

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 5$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} \sin (2 x + 5) + C$