Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x) - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - \cos (0) - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.2.6.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} - 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x) - 2 x}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x) - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - \cos (x) - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x) - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.6

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.9.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2 \cdot 1}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2 + \sin (x)}{2 x - 2}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 2 + \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - 2}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Paso 2.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2 + \sin (0)}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1 - 2 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.1.4

Suma $1 - 2$ y $0$ .

$\frac{1 - 2}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.1.5

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{- 1}{0 - 1 \cdot 2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 1}{0 - 2}$

Paso 4.2.3

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{- 1}{- 2}$

Paso 4.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{1}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$