Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Paso 2

Reescribe $- 1 u^{3}$ como $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa $\frac{u^{4}}{4}$ en $\frac{1}{2}$ y en $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Paso 7.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Paso 7.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Paso 7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Paso 7.4

Combina $- 1$ y $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Paso 7.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Paso 7.6.2

Resta $16$ de $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Paso 7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Paso 7.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 7.9

Multiplica $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Paso 7.9.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Paso 7.10

Multiplica $- - \frac{15}{64}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Paso 7.10.2

Multiplica $\frac{15}{64}$ por $1$ .

$\frac{15}{64}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{15}{64}$

Forma decimal:

$0.234375$