Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $i$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 - \sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$

Paso 2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7$ .

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Paso 2.1

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{23} i + \sum_{k = 1}^{23} 7$

Paso 2.2

Evalúa $\sum_{k = 1}^{23} i^{2}$ .

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Paso 2.2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 2.2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{23 (23 + 1) (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.1.1

Suma $23$ y $1$ .

$\frac{23 \cdot 24 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 2.2.3.1.2.1

Multiplica $23$ por $24$ .

$\frac{552 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $23$ .

$\frac{552 (46 + 1)}{6}$

Paso 2.2.3.1.3

Suma $46$ y $1$ .

$\frac{552 \cdot 47}{6}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $552$ por $47$ .

$\frac{25944}{6}$

Paso 2.2.3.2.2

Divide $25944$ por $6$ .

$4324$

Paso 2.3

Evalúa $2 \sum_{k = 1}^{23} i$ .

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Paso 2.3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- 2) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1.1

Suma $23$ y $1$ .

$- 2 \frac{23 \cdot 24}{2}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $23$ por $24$ .

$- 2 (\frac{552}{2})$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{552}{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{552}{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 552$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $552$ .

$- 552$

Paso 2.4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{23} 7$ .

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Paso 2.4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 2.4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(7) (23)$

Paso 2.4.3

Multiplica $7$ por $23$ .

$161$

Paso 2.5

Suma los resultados de las sumas.

$4324 - 552 + 161$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Resta $552$ de $4324$ .

$3772 + 161$

Paso 2.6.2

Suma $3772$ y $161$ .

$3933$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$ .

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Paso 3.1

Expande la serie para cada valor de $i$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 7 + 2^{2} - 2 \cdot 2 + 7 + 3^{2} - 2 \cdot 3 + 7 + \dots + 5^{2} - 2 \cdot 5 + 7$

Paso 3.2

Simplifica la forma expandida.

$60$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$3933 - 60$

Paso 5

Resta $60$ de $3933$ .

$3873$