Cálculo Ejemplos

\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que

t

$t$ se acerca a

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que

2

$2$ es constante con respecto a

x

$x$ , mueve

2

$2$ fuera de la integral.

lim t \to \infty 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Paso 3

Sea

u_{2} = e^{x^{2}}

$u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces

d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x

$d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que

\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x

$\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante

u_{2}

$u_{2}$ y

d

$d$

u_{2}

$u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja

u_{2} = e^{x^{2}}

$u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén

\frac{d u_{2}}{d x}

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia

e^{x^{2}}

$e^{x^{2}}$ .

\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = e^{x}$ y

$g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{1}$ como

$x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

$\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es

$a^{u_{1}} \ln (a)$ donde

$a$ =

$e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{1}$ con

$x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Reordena los factores de

$e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 3.1.4.2

Reordena los factores en

$2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por

$x$ en

$u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 3.3.2

Cualquier valor elevado a

$0$ es

$1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por

$x$ en

$u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para

$u_{lower}$ y

$u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante

$u_{2}$ ,

$d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Paso 5.2

Evalúa

$\frac{u_{2}}{2}$ en

$e^{t^{2}}$ y en

$1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6

Como la función

$\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ se acerca a

$\infty$ , la constante positiva

$2$ veces la función también se acerca a

$\infty$ .

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Paso 6.1

Considera el límite con el múltiplo constante

$2$ eliminado.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 6.2

Evalúa el límite.

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Paso 6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Paso 6.2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que

$t$ se aproxima a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$t$ se aproxima a

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.3

Como el exponente

$t^{2}$ se acerca a

$\infty$ , la cantidad

$e^{t^{2}}$ se acerca a

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Evalúa el límite de

$1$ que es constante cuando

$t$ se acerca a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.4.2

Evalúa el límite de

$2$ que es constante cuando

$t$ se acerca a

$\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 6.4.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1.1

Multiplica

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Paso 6.4.3.1.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{2}$

Paso 6.4.3.2

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$\infty$