Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Paso 3.1.4.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Paso 3.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Paso 5.2

Evalúa $\frac{u_{2}}{2}$ en $e^{t^{2}}$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6

Como la función $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 6.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 6.2

Evalúa el límite.

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Paso 6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Paso 6.2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.3

Como el exponente $t^{2}$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{t^{2}}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.4

Evalúa el límite.

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Paso 6.4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Paso 6.4.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 6.4.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Paso 6.4.3.1.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{2}$

Paso 6.4.3.2

Infinito dividido por cualquier número finito y no nulo es infinito.

$\infty$