Cálculo Ejemplos

$\ln (| x^{2} - 1 |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | x^{2} - 1 |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| x^{2} - 1 |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - 1 |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{| x^{2} - 1 |} (\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 3

Multiplica $\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 |}$ por $\frac{1}{| x^{2} - 1 |}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| x^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{x^{2} - 1}{| (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 5

Eleva $x^{2} - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} (x^{2} - 1) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 6

Eleva $x^{2} - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1} {(x^{2} - 1)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x + 0)$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} (2 x)$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{x^{2} - 1}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |} x$

Paso 12.3

Combina $\frac{2 (x^{2} - 1)}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$ y $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 13.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$

Paso 13.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x}{| {(x^{2} - 1)}^{2} |}$