Cálculo Ejemplos

$x y + x^{3} = y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x y + x^{3}) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y + x^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$x + y x' + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x + y x' + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x + y x' + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x + y x' + 3 x^{2} x'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y x' + 3 x^{2} x' + x$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y x' + 3 x^{2} x' + x = 2 y$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' + 3 x^{2} x' = 2 y - x$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $y x' + 3 x^{2} x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $y x'$ .

$x' y + 3 x^{2} x' = 2 y - x$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (y) + x' (3 x^{2}) = 2 y - x$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $x' (y) + x' (3 x^{2})$ .

$x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$ por $y + 3 x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (y + 3 x^{2}) = 2 y - x$ por $y + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (y + 3 x^{2})}{y + 3 x^{2}} = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 3 x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y + 3 x^{2})}{y + 3 x^{2}} = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{y + 3 x^{2}} + \frac{- x}{y + 3 x^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{2 y - x}{y + 3 x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y - x}{y + 3 x^{2}}$