Cálculo Ejemplos

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Paso 1

Escribe $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ como una función.

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ y $d v = 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5

Combina $x$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 6

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 6.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Paso 9

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 9.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 9.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 11

Reescribe $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ .

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$