Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} + 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} d u_{1}$

$\int {(u_{1} + 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} d u_{1}$

Paso 2

Sea $u_{2} = u_{1} + 2$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $u_{1} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 2$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Paso 2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 2)}^{\frac{3}{2}} d u_{2}$

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 2)}^{\frac{3}{2}} d u_{2}$

Paso 3

Sea $u_{3} = u_{2} - 2$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{3} = u_{2} - 2$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $u_{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} - 2$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2]$

Paso 3.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

$\int {(u_{3} + 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe ${(u_{3} + 2)}^{2}$ como $(u_{3} + 2) (u_{3} + 2)$ .

$\int (u_{3} + 2) (u_{3} + 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u_{3} (u_{3} + 2) + 2 (u_{3} + 2)) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2 + 2 (u_{3} + 2)) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2 + 2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + (2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + (2 u_{3} + 2 \cdot 2) {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + u_{3} \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.8

Reordena $u_{3}$ y $2$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.9

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.10

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.12

Suma $1$ y $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.14

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.15

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.17

Simplifica el numerador.

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Paso 4.17.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.17.2

Suma $4$ y $3$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.18

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{1 + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.20

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 3}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.22

Suma $2$ y $3$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.23

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{1 + \frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.25

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 3}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.27

Suma $2$ y $3$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.28

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.29

Suma $2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ y $2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Paso 4.30

Mueve ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 8

Dado que $4$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3}$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{2}{7}$ y ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{2}{5}$ y ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $u_{2} - 2$ .

$\frac{8 {(u_{2} - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(u_{2} - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(u_{2} - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 2$ .

$\frac{8 {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(u_{1} + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 12.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

$\frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{8 {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{9} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{8}{7} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{5} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} {(x - 2 + 2 - 2)}^{\frac{9}{2}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$