Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (3 x + \frac{π}{6}) d x$

Paso 3

Sea $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 3 x + \frac{π}{6}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $3 x + \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + \frac{π}{6}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + \frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 4

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Paso 6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + \frac{π}{6}$ .

$- \frac{\cos (3 x + \frac{π}{6})}{3} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x + \frac{π}{6}) + C$