Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} {(x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(x + 5)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{{(- 5 + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 \cdot - 5}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 \cdot - 5}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Paso 1.1.3.5.2

Resta $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.3

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 5) + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.4.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.4.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 10 x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.7

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.9

Multiplica $10$ por $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.10

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.11

Suma $2 x + 10$ y $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Paso 1.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.3.14.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.14.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \cdot 1}$

Paso 1.3.14.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 5$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 \cdot - 5 + 10$ y $2 \cdot - 5 + 5$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $5$ de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Paso 4.1.2

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 5 \cdot 2}{2 \cdot - 5 + 5}$

Paso 4.1.3

Factoriza $5$ de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (2)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{2 \cdot - 5 + 5}$

Paso 4.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $5$ de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $5$ de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Paso 4.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Paso 4.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 1}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 1}$

Paso 4.3.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

Paso 4.4

Divide $0$ por $- 1$ .

$0$