Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{2 x}}{e^{x} + 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x}$ y $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $(e^{x} + 1) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{x} + 1) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{2 x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{x + 2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.3.1.1.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3.1.1.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 3.7.3.2

Resta $e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} + e^{3 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$