Cálculo Ejemplos

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - y^{2} + x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Suma $6 y^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Paso 5.3.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Paso 5.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Paso 5.3.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ por $6 y^{2} - 2 y + 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ por $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.5.1

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 5.5.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$