Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{4} 3 - | x - 3 | d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 3 d x + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$3 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} | x - 3 | d x$

Paso 5

Divide la integral según si $x - 3$ es positiva y negativa.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x + 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 x]_{1}^{4} - (- \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x d x + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Paso 13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + - 3 x]_{3}^{4})$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Combina $\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4}$ y $- 3 x]_{3}^{4}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Paso 15.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 15.2.1

Evalúa $3 x$ en $4$ y en $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Paso 15.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Paso 15.2.3

Evalúa $3 x$ en $3$ y en $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Paso 15.2.4

Evalúa $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ en $4$ y en $3$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5

Simplifica.

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Paso 15.2.5.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$12 - 3 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.3

Resta $3$ de $12$ .

$9 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - (- \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.7

Resta $1$ de $9$ .

$9 - (- \frac{8}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.8

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 15.2.5.8.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.5.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.8.2.2

Cancela el factor común.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.8.2.3

Reescribe la expresión.

$9 - (- \frac{4}{1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.8.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$9 - (- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$9 - (- 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.11

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.12

Resta $3$ de $9$ .

$9 - (- 4 + 6 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.13

Suma $- 4$ y $6$ .

$9 - (2 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.14

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$9 - (2 + \frac{16}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.15

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 15.2.5.15.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.5.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.15.2.2

Cancela el factor común.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.15.2.3

Reescribe la expresión.

$9 - (2 + \frac{8}{1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.15.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$9 - (2 + 8 - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.16

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$9 - (2 + 8 - 12 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.17

Resta $12$ de $8$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.18

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3))$

Paso 15.2.5.19

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9))$

Paso 15.2.5.20

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 15.2.5.21

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}))$

Paso 15.2.5.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 9 \cdot 2}{2})$

Paso 15.2.5.23

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.23.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 18}{2})$

Paso 15.2.5.23.2

Resta $18$ de $9$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{- 9}{2})$

Paso 15.2.5.24

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 - (2 - 4 - - \frac{9}{2})$

Paso 15.2.5.25

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 - (2 - 4 + 1 (\frac{9}{2}))$

Paso 15.2.5.26

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$9 - (2 - 4 + \frac{9}{2})$

Paso 15.2.5.27

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Paso 15.2.5.28

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Paso 15.2.5.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2 + 9}{2})$

Paso 15.2.5.30

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.30.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$9 - (2 + \frac{- 8 + 9}{2})$

Paso 15.2.5.30.2

Suma $- 8$ y $9$ .

$9 - (2 + \frac{1}{2})$

Paso 15.2.5.31

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 15.2.5.32

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 15.2.5.33

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Paso 15.2.5.34

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.34.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$9 - \frac{4 + 1}{2}$

Paso 15.2.5.34.2

Suma $4$ y $1$ .

$9 - \frac{5}{2}$

Paso 15.2.5.35

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 15.2.5.36

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 15.2.5.37

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 \cdot 2 - 5}{2}$

Paso 15.2.5.38

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.38.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{18 - 5}{2}$

Paso 15.2.5.38.2

Resta $5$ de $18$ .

$\frac{13}{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{13}{2}$

Forma decimal:

$6.5$

Forma de número mixto:

$6 \frac{1}{2}$

Paso 17