Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} - x) (\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x)}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)}}^{2} + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} x + \sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} (- x) - x^{2}}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420 + 0}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Paso 2.2.2

Suma $4041 x + 4082420$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 x + 4082420}{\sqrt{(x + 2020) (x + 2021)} + x}$

Paso 3

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4041 x}{x} + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.1.2

Divide $4041$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4041 + \frac{4082420}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $4041$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4041 + lim_{x \to \infty} \frac{4082420}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 4.6

Mueve el término $4082420$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 2020) (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2021) + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 (x + 2021)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2021 + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.4

Reordena $x$ y $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2021 \cdot x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 2020 \cdot 2021}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.8.2

Multiplica $2020$ por $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2021 x + 2020 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.8.3

Suma $2021 x$ y $2020 x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4041 x + 4082420}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (x + 2021)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2020) (x + 2021)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 2020$ y $g (x) = x + 2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \frac{d}{d x} [x + 2021] + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2021$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + \frac{d}{d x} [2021]) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.5

Como $2021$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2021$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) (1 + 0) + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 2020) \cdot 1 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.7

Multiplica $x + 2020$ por $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \frac{d}{d x} [x + 2020]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2020$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020]$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + \frac{d}{d x} [2020])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.10

Como $2020$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2020$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + (x + 2021) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.12

Multiplica $x + 2021$ por $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 2020 + x + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.13

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2020 + 2021}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.14

Suma $2020$ y $2021$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{2 x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4041}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 10.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{4041}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{4041}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10.6

Mueve el término $4041$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 12

Evalúa el límite.

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 4041 \cdot 0}{1}} + 1}$

Paso 12.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.3.1

Divide $2 + 4041 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{4041 + 4082420 \cdot 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Paso 12.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.2.1

Multiplica $4082420$ por $0$ .

$\frac{4041 + 0}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Paso 12.3.2.2

Suma $4041$ y $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 4041 \cdot 0)} + 1}$

Paso 12.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 12.3.3.1

Multiplica $4041$ por $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)} + 1}$

Paso 12.3.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Paso 12.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4041}{\sqrt{\frac{2}{2}} + 1}$

Paso 12.3.3.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{4041}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 12.3.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{4041}{1 + 1}$

Paso 12.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4041}{2}$