Cálculo Ejemplos

$- 5 = 3 y^{3} + x - x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 5) = \frac{d}{d x} (3 y^{3} + x - x y^{2})$

Paso 2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y^{3} + x - x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + 1 + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$9 y^{2} y' + 1 - \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.4.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$9 y^{2} y' + 1 - (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y^{2} y' + 1 - (2 x y y') - y^{2}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$9 y^{2} y' + 1 - 2 x y y' - y^{2}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$- y^{2} + 9 y^{2} y' - 2 x y y' + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = - y^{2} + 9 y^{2} y' - 2 x y y' + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- y^{2} + 9 y^{2} y' - 2 x y y' + 1 = 0$ .

$- y^{2} + 9 y^{2} y' - 2 x y y' + 1 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' - 2 x y y' + 1 = y^{2}$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' - 2 x y y' = y^{2} - 1$

Paso 5.3

Factoriza $y y'$ de $9 y^{2} y' - 2 x y y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Factoriza $y y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y y' (9 y) - 2 x y y' = y^{2} - 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y y'$ de $- 2 x y y'$ .

$y y' (9 y) + y y' (- 2 x) = y^{2} - 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y y'$ de $y y' (9 y) + y y' (- 2 x)$ .

$y y' (9 y - 2 x) = y^{2} - 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $y y' (9 y - 2 x) = y^{2} - 1$ por $y (9 y - 2 x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Divide cada término en $y y' (9 y - 2 x) = y^{2} - 1$ por $y (9 y - 2 x)$ .

$\frac{y y' (9 y - 2 x)}{y (9 y - 2 x)} = \frac{y^{2}}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (9 y - 2 x)}{y (9 y - 2 x)} = \frac{y^{2}}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (9 y - 2 x)}{9 y - 2 x} = \frac{y^{2}}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $9 y - 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (9 y - 2 x)}{9 y - 2 x} = \frac{y^{2}}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (9 y - 2 x)} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{9 y - 2 x} + \frac{- 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{9 y - 2 x} - \frac{1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.2

Para escribir $\frac{y}{9 y - 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{9 y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(9 y - 2 x) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{9 y - 2 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(9 y - 2 x) y} - \frac{1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.3.2

Reordena los factores de $(9 y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (9 y - 2 x)} - \frac{1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y \cdot y - 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.5.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 1^{2}}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 5.4.3.5.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$y' = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (9 y - 2 x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{y (9 y - 2 x)}$