Cálculo Ejemplos

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Paso 1

Mueve $6$ a la izquierda de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Paso 3

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 3.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Paso 6.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Paso 8.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{3} + C$

Paso 8.2.3

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$u^{3} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$