Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{25 - 4 x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - 4 x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{5^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = 2 x$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{5 + 2 x}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(5 + 2 x) (5 - 2 x)$ .

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $5 + 2 x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $5 - 2 x$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (5 - 2 x)}{5 - 2 x} = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $5 + 2 x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 + 2 x} + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (5 - 2 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (5 - 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 5 + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A (- 2 x) + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 5 \cdot A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $5 - 2 x$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 5 A - 2 A x + \frac{(B) (5 + 2 x) (5 - 2 x)}{5 - 2 x}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (5 + 2 x)$ por $1$ .

$1 = 5 A - 2 A x + (B) (5 + 2 x)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 5 A - 2 A x + B \cdot 5 + B (2 x)$

Paso 1.1.7.7

Mueve $5$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 5 A - 2 A x + 5 \cdot B + B (2 x)$

Paso 1.1.7.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 5 A - 2 A x + 5 B + 2 B x$

Paso 1.1.8

Reordena.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 B x$

Paso 1.1.8.2

Mueve $B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 5 B + 2 x B$

Paso 1.1.8.3

Mueve $5 B$ .

$1 = 5 A - 2 x A + 2 x B + 5 B$

Paso 1.1.8.4

Mueve $5 A$ .

$1 = - 2 x A + 2 x B + 5 A + 5 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 2 A + 2 B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

$0 = - 2 A + 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = - 2 A + 2 B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 2 A + 2 B = 0$ .

$- 2 A + 2 B = 0$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 A = - 2 B$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.3

Divide cada término en $- 2 A = - 2 B$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.3.1

Divide cada término en $- 2 A = - 2 B$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.3.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.3.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$A = \frac{- 2 B}{- 2}$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.1.3.3.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

$A = B$

$1 = 5 A + 5 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = 5 A + 5 B$ por $B$ .

$1 = 5 (B) + 5 B$

$A = B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Suma $5 B$ y $5 B$ .

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

$1 = 10 B$

$A = B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 10 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $10 B = 1$ .

$10 B = 1$

$A = B$

Paso 1.3.3.2

Divide cada término en $10 B = 1$ por $10$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.2.1

Divide cada término en $10 B = 1$ por $10$ .

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 B}{10} = \frac{1}{10}$

$A = B$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

$B = \frac{1}{10}$

$A = B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{10}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = B$ por $\frac{1}{10}$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{1}{10}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{1}{10}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{5 + 2 x} + \frac{B}{5 - 2 x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{10}}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 + 2 x} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{5 + 2 x}$ .

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{\frac{1}{10}}{5 - 2 x}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{5 - 2 x}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{5 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} + \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{10 (5 + 2 x)} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{5 + 2 x} d x + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 5 + 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 5 + 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{10} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{10 (5 - 2 x)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{5 - 2 x} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 5 - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 5 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Paso 10.1.2

Diferencia.

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Paso 10.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 10.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 10.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 10.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 10.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 10.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 11.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{10} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{20} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{20} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{20} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 + 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 - 2 x$ .

$\frac{1}{20} \ln (| 5 + 2 x |) - \frac{1}{20} \ln (| 5 - 2 x |) + C$