Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sqrt{x^{5}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ como $\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{4} x}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} \sqrt{x})]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Paso 3.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 11

Combina $4$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 12

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 13

Factoriza $2$ de $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Paso 14.4

Divide $10 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$10 x^{\frac{3}{2}}$