Cálculo Ejemplos

$- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3} = y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 y^{3} - 5 - y^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - (3 x^{2})$

Paso 2.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 9 y^{2} y' + 0 - 2 y y' - 3 x^{2}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma $- 9 y^{2} y'$ y $0$ .

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - 3 x^{2}$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y'$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} - 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 0$

Paso 5.2

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y' - 2 y y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) - 2 y y' - y' = 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) - y' = 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 9 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1 = 3 x^{2}$

Paso 5.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 9 y^{2} - 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ por $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1) = 3 x^{2}$ por $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 9 y^{2} - 2 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 9 y^{2} - 2 y - 1)}{- 9 y^{2} - 2 y - 1} = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 9 y^{2} - 2 y - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - 2 y - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2}) - (2 y) - 1}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2}) - (2 y)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)}$

Paso 5.4.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2} + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Paso 5.4.3.6

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.6.1

Reescribe $- (9 y^{2} + 2 y + 1)$ como $- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 1 (9 y^{2} + 2 y + 1)}$

Paso 5.4.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{9 y^{2} + 2 y + 1}$