Cálculo Ejemplos

$V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ es $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ donde $f (w) = 60 - 4 w$ y $g (w) = w^{2}$ .

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $60 - 4 w$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Paso 1.2.4

Como $60$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $60$ con respecto a $w$ es $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Paso 1.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- 4 w$ con respecto a $w$ es $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Paso 1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Paso 1.2.8.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.3

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.4

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Paso 1.3.3.7

Resta $4 w^{2}$ de $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$- 12 w^{2} + 120 w$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 12 w^{2} + 120 w$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}] + \frac{d}{d w} [120 w]$ .

$V'' (w) = \frac{d}{d w} (- 12 w^{2}) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d w} [- 12 w^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- 12 w^{2}$ con respecto a $w$ es $- 12 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$V'' (w) = - 12 \frac{d}{d w} w^{2} + \frac{d}{d w} (120 w)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$V'' (w) = - 12 (2 w) + \frac{d}{d w} (120 w)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$V'' (w) = - 24 w + \frac{d}{d w} (120 w)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d w} [120 w]$ .

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Paso 2.3.1

Como $120$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $120 w$ con respecto a $w$ es $120 \frac{d}{d w} [w]$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \frac{d}{d w} (w)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $120$ por $1$ .

$V'' (w) = - 24 w + 120$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ es $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ donde $f (w) = 60 - 4 w$ y $g (w) = w^{2}$ .

$(60 - 4 w) \frac{d}{d w} [w^{2}] + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(60 - 4 w) (2 w) + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 4.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $60 - 4 w$ .

$2 \cdot (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [60 - 4 w]$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $60 - 4 w$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (\frac{d}{d w} [60] + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Paso 4.1.2.4

Como $60$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $60$ con respecto a $w$ es $0$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (0 + \frac{d}{d w} [- 4 w])$

Paso 4.1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d w} [- 4 w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \frac{d}{d w} [- 4 w]$

Paso 4.1.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- 4 w$ con respecto a $w$ es $- 4 \frac{d}{d w} [w]$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \frac{d}{d w} [w])$

Paso 4.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} (- 4 \cdot 1)$

Paso 4.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 (60 - 4 w) w + w^{2} \cdot - 4$

Paso 4.1.2.8.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $w^{2}$ .

$2 (60 - 4 w) w - 4 \cdot w^{2}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 60 + 2 (- 4 w)) w - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 60 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3

Combina los términos.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $60$ .

$120 w + 2 (- 4 w) w - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$120 w - 8 w \cdot w - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.3

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w) - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.4

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$120 w - 8 (w^{1} w^{1}) - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 w - 8 w^{1 + 1} - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$120 w - 8 w^{2} - 4 w^{2}$

Paso 4.1.3.3.7

Resta $4 w^{2}$ de $- 8 w^{2}$ .

$120 w - 12 w^{2}$

Paso 4.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (w) = - 12 w^{2} + 120 w$

Paso 4.2

La primera derivada de $V (w)$ con respecto a $w$ es $- 12 w^{2} + 120 w$ .

$- 12 w^{2} + 120 w$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 12 w^{2} + 120 w = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 12 w^{2} + 120 w = 0$

Paso 5.2

Factoriza $- 12 w$ de $- 12 w^{2} + 120 w$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $- 12 w$ de $- 12 w^{2}$ .

$- 12 w \cdot w + 120 w = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $- 12 w$ de $120 w$ .

$- 12 w \cdot w - 12 w \cdot - 10 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $- 12 w$ de $- 12 w (w) - 12 w (- 10)$ .

$- 12 w (w - 10) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w = 0$

$w - 10 = 0$

Paso 5.4

Establece $w$ igual a $0$ .

$w = 0$

Paso 5.5

Establece $w - 10$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 5.5.1

Establece $w - 10$ igual a $0$ .

$w - 10 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 10$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 12 w (w - 10) = 0$ verdadera.

$w = 0, 10$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$w = 0, 10$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $w = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 24 \cdot 0 + 120$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$0 + 120$

Paso 9.2

Suma $0$ y $120$ .

$120$

Paso 10

$w = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$w = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $w = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $w$ con $0$ en la expresión.

$V (0) = (60 - 4 \cdot 0) {(0)}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$V (0) = (60 + 0) {(0)}^{2}$

Paso 11.2.2

Suma $60$ y $0$ .

$V (0) = 60 {(0)}^{2}$

Paso 11.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V (0) = 60 \cdot 0$

Paso 11.2.4

Multiplica $60$ por $0$ .

$V (0) = 0$

Paso 11.2.5

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $w = 10$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 24 \cdot 10 + 120$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $- 24$ por $10$ .

$- 240 + 120$

Paso 13.2

Suma $- 240$ y $120$ .

$- 120$

Paso 14

$w = 10$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$w = 10$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $w = 10$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $w$ con $10$ en la expresión.

$V (10) = (60 - 4 \cdot 10) {(10)}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$V (10) = (60 - 40) {(10)}^{2}$

Paso 15.2.2

Resta $40$ de $60$ .

$V (10) = 20 {(10)}^{2}$

Paso 15.2.3

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$V (10) = 20 \cdot 100$

Paso 15.2.4

Multiplica $20$ por $100$ .

$V (10) = 2000$

Paso 15.2.5

La respuesta final es $2000$ .

$y = 2000$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $V (w) = (60 - 4 w) w^{2}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

$(10, 2000)$ es un máximo local

Paso 17