Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$ y $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{1}^{e}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$

Paso 6.2.2.4

Para escribir $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} + \ln (| e |)$

Paso 6.2.2.5

Combina $- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Paso 6.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2} - (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} + \ln (| e |)$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (| 1 |))}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + \ln (1))}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2} + 0)}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\frac{1}{2})}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{e^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{2} - 1}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.4

Reescribe $e^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 7.1.1.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.1.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (| e |)$

Paso 7.1.2

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \ln (e)$

Paso 7.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + 1$

Paso 7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(e + 1) (e - 1) + 2}{2}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Expande $(e + 1) (e - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e (e - 1) + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Paso 7.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1) + 2}{2}$

Paso 7.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.2.1.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e$ .

$\frac{e e - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2.1.2

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$\frac{e e - e + 1 e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2.1.3

Multiplica $e$ por $1$ .

$\frac{e e - e + e + 1 \cdot - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e e - e + e - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2.2

Suma $- e$ y $e$ .

$\frac{e e + 0 - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.2.3

Suma $e e$ y $0$ .

$\frac{e e - 1 + 2}{2}$

Paso 7.4.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{e e + 1}{2}$

Paso 7.4.4

Multiplica $e e$ .

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Paso 7.4.4.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{1} e + 1}{2}$

Paso 7.4.4.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{1} e^{1} + 1}{2}$

Paso 7.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{1 + 1} + 1}{2}$

Paso 7.4.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e^{2} + 1}{2}$

Forma decimal:

$4.19452804 \dots$

Paso 9