Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}})}^{x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}$

Paso 4

Reescribe $x \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})$ como $\frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.5.2.1

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.11.1

Mueve $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.3.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15

Multiplica $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ por $\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{(x^{2} + 1) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.16

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.16.1

Factoriza $x^{2}$ de $(x^{2} + 1) x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.16.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x)}{x^{2} (x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.16.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17

Simplifica.

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Paso 5.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{(x^{2} + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.17.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.17.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.17.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.3.17.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.4.3

Resta $2 x$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2} x^{2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.5

Combina los términos.

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Paso 5.3.17.5.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.17.5.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{2 + 2} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.5.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{4} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.6

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} + x^{2}$ .

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Paso 5.3.17.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.6.2

Multiplica por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.6.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.7

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.3.17.7.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x^{2} (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.17.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x^{2} + 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.7.2.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x \cdot 2}{x \cdot x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17.7.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.18

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 5.3.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 5.3.20

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x^{2} + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x^{2} + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 5.5

Combina factores.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x^{2} + 1)} x^{2}}$

Paso 5.5.3

Combina $\frac{2}{x (x^{2} + 1)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x^{2} + 1)}}$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{2} + 1}}$

Paso 7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.1.3.2

Cancela el factor común.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.1.3.3

Reescribe la expresión.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{2 \frac{0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{2 \frac{0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$e^{2 \frac{0}{1 + 0}}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{2 (\frac{0}{1})}$

Paso 12.1.2

Divide $0$ por $1$ .

$e^{2 \cdot 0}$

Paso 12.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 12.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$