Cálculo Ejemplos

$\int \frac{6}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{1}{2 x + 3 x^{2}} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $2 x + 3 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + 3 x^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 2 + x (3 x)}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 2 + x (3 x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (2 + 3 x)}$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $x$ por $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{x (2 + 3 x)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (2 + 3 x)$ .

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (2 + 3 x))}{x (2 + 3 x)} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $2 + 3 x$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (2 + 3 x))}{x} + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.1.2

Divide $A (2 + 3 x)$ por $1$ .

$1 = A (2 + 3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (3 x) + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 \cdot A + 3 A x + \frac{(B) (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.5

Cancela el factor común de $2 + 3 x$ .

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Paso 2.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 A + 3 A x + \frac{B (x (2 + 3 x))}{2 + 3 x}$

Paso 2.1.6.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = 2 A + 3 A x + (B) (x)$

$1 = 2 A + 3 A x + B x$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Paso 2.1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = 2 A + 3 x A + B x$

Paso 2.1.7.3

Mueve $2 A$ .

$1 = 3 x A + B x + 2 A$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 3 A + B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 2 A$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Paso 2.3.1.2

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Paso 2.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 3 A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{3}{2} + B$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 + 3 x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{3}{2}}{2 + 3 x}$

Paso 2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 + 3 x}$

Paso 2.5.4

Multiplica $\frac{1}{2 + 3 x}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{3}{(2 + 3 x) \cdot 2}$

Paso 2.5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $2 + 3 x$ .

$6 \int \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$6 (\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{2 (2 + 3 x)} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 + 3 x} d x))$

Paso 8

Sea $u = 2 + 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 2 + 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Paso 8.1.2

Diferencia.

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Paso 8.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Paso 8.1.4

Suma $0$ y $3$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u)$

Paso 9.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$6 (\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + 3 x$ .

$6 (\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 + 3 x |)) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\ln (| 2 + 3 x |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (| x |)}{2} - \frac{\ln (| 2 + 3 x |)}{2}) + C$

Paso 15.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{\ln (| x |) - \ln (| 2 + 3 x |)}{2} + C$

Paso 15.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Paso 15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Paso 15.4.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{\ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |})}{2} + C$

Paso 15.4.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (\frac{| x |}{| 2 + 3 x |}) + C$