Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 1

Mueve el término $\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t \cdot 0$

Paso 3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{t}}$ por $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.2

Eleva $\sqrt{t}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.3

Eleva $\sqrt{t}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6

Reescribe ${\sqrt{t}}^{2}$ como $t$ .

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Paso 3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t^{1}} d t \cdot 0$

Paso 3.2.6.5

Simplifica.

$\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $\int_{1}^{x} \frac{\sqrt{t}}{t} d t$ por $0$ .

$0$