Cálculo Ejemplos

$\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Paso 1

Escribe $\frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ como una función.

$f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}} d x$

Paso 6

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u$

Paso 7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$- (\arcsin (u) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$- \arcsin (u) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$- \arcsin (\ln (x)) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{- 1}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x)}}$ .

$F (x) =$ $- \arcsin (\ln (x)) + C$