Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x \cdot (7^{x^{2}})}{7^{x^{2}} - 5} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{(7^{u_{1}} - 5) \cdot 2} d u_{1}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $7^{u_{1}} - 5$ .

$3 \int \frac{7^{u_{1}}}{2 (7^{u_{1}} - 5)} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{7^{u_{1}}}{7^{u_{1}} - 5} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Entonces $d u_{2} = 7^{u_{1}} \ln (7) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\ln (7)} d u_{2} = 7^{u_{1}} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 7^{u_{1}} - 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}} - 5]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7^{u_{1}} - 5$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $7$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + \frac{d}{d u_{1}} [- 5]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7) + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $7^{u_{1}} \ln (7)$ y $0$ .

$7^{u_{1}} \ln (7)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (7)} d u_{2}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (7)} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{\ln (7)}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{\ln (7)}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{\ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{\ln (7)}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{\ln (7) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (7)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7^{u_{1}} - 5$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{u_{1}} - 5 |) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{3}{2 \ln (7)} \ln (| 7^{x^{2}} - 5 |) + C$