Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{4 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - 2 x^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to 1} 2 x^{2}}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{2 - 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (3 x - 2)}{2 - 2 x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (3 x - 2)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{3 x - 2}$ y $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.10

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{4}{3 x - 2}$ y $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2 - 2 x^{2}]}$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Paso 3.14

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]}$

Paso 3.15

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 3.15.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.15.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 2 (2 x)}$

Paso 3.15.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{0 - 4 x}$

Paso 3.16

Resta $4 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{12}{3 x - 2}}{- 4 x}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{12}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{- 4 x}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{12}{3 x - 2}$ por $\frac{1}{- 4 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{12}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $12$ y $- 4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{(3 x - 2) (- 4 x)}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $(3 x - 2) (- 4 x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (3)}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 2) (- x))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{3}{(3 x - 2) (- x)}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 1} \frac{1}{(3 x - 2) (- x)}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$3 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 1} (3 x - 2) \cdot - 1 x}$

Paso 9

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} (3 x - 2) x}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to 1} 3 x - 2 \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$3 \frac{1}{- (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 12

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 13

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$3 \frac{1}{- (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 15.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1}$

Paso 15.1.2

Reescribe la expresión.

$3 \frac{1}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 15.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$3 \frac{- 1 (- 1)}{- (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Paso 15.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (- \frac{1}{3 - 1 \cdot 2})$

Paso 15.3

Simplifica el denominador.

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Paso 15.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (- \frac{1}{3 - 2})$

Paso 15.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$3 (- \frac{1}{1})$

Paso 15.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 15.4.1

Cancela el factor común.

$3 (- \frac{1}{1})$

Paso 15.4.2

Reescribe la expresión.

$3 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.5

Multiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \cdot - 1$

Paso 15.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3$