Cálculo Ejemplos

$\int \sin (3 x) + e^{2 x + 1} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (3 x) d x + \int e^{2 x + 1} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Paso 3

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int e^{2 x + 1} d x$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{2 x + 1} d x$

Paso 6

Sea $u_{2} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$