Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 6 x + 1$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 6 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 6} d u$

Paso 6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{6 u^{2}} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{- 2} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$ como $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{u} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{u} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{6 u} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 1$ .

$\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$