Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} {(3 + x)}^{2} d x$

Paso 1

Expande $x^{2} {(3 + x)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(3 + x)}^{2}$ como $(3 + x) (3 + x)$ .

$\int x^{2} ((3 + x) (3 + x)) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 (3 + x) + x (3 + x)) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x (3 + x)) d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x + x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 \cdot 3 + 3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3 + x \cdot x) d x$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} (3 \cdot 3) + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Paso 1.8

Mueve $x^{2}$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Paso 1.9

Reordena $x^{2}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (x \cdot 3) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Paso 1.10

Reordena $x$ y $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + x^{2} (3 \cdot x) + x^{2} (x \cdot x) d x$

Paso 1.11

Reordena $x^{2}$ y $3$ .

$\int 3 \cdot 3 x^{2} + 3 \cdot x^{2} x + 3 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (x \cdot x) d x$

Paso 1.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{2 + 1} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.15

Suma $2$ y $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.18

Suma $2$ y $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x \cdot x d x$

Paso 1.19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} x^{1} x d x$

Paso 1.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2 + 1} x d x$

Paso 1.21

Suma $2$ y $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x d x$

Paso 1.22

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} x^{1} d x$

Paso 1.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3 + 1} d x$

Paso 1.24

Suma $3$ y $1$ .

$\int 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{4} d x$

Paso 1.25

Suma $3 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$\int 9 x^{2} + 6 x^{3} + x^{4} d x$

Paso 1.26

Reordena $6 x^{3}$ y $x^{4}$ .

$\int 9 x^{2} + x^{4} + 6 x^{3} d x$

Paso 1.27

Mueve $9 x^{2}$ .

$\int x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 6 x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 \int x^{3} d x + \int 9 x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 9 x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 \int x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 9 \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 8.2.2

Combina $9$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{9 x^{3}}{3} + C$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.1

Factoriza $3$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3} + C$

Paso 8.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 (1)} + C$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 (3 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Paso 8.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{3}}{1} + C$

Paso 8.2.3.2.4

Divide $3 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + 3 x^{3} + C$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{3} + C$