Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 - 4 x^{2}$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 - 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Paso 2.1.4

Resta $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Paso 2.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Paso 2.5.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Paso 2.5.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Paso 2.5.1.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.4.3

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 2.5.1.4.4

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Paso 2.5.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Paso 2.5.4

Resta $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Paso 3.3

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 (- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- 8 (\frac{1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 8$ .

$\frac{- 8}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $8$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.1.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 7.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $\frac{3}{4}$ y en $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Paso 10.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)$

Paso 10.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Paso 10.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)$

Paso 10.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)$

Paso 10.1.2.4

Evalúa el exponente.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Paso 10.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.1.3.1

Cancela el factor común.

$- (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)$

Paso 10.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- (3^{\frac{1}{2}} - 2)$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3^{\frac{1}{2}} - - 2$

Paso 10.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 3^{\frac{1}{2}} + 2$

Forma decimal:

$0.26794919 \dots$

Paso 12