Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + \sin (x)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ como ${(1 + \sin (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sin (x))}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \sin (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- {(1 + \sin (x))}^{- 2} \cos (x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cos (x)$

Paso 5.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$