Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 {(x - 1)}^{2} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int {(x - 1)}^{2} d x$

Paso 4

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 6.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$