Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{2 + \sqrt{x}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{{(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.4

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{4} {(2 + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.1.3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 2 + 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 2 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 2 + 4^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u_{upper} = 2 + {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.3.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 + 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.5.1.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 2 + 2^{1}$

Paso 2.5.1.4

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = 2 + 2$

Paso 2.5.2

Suma $2$ y $2$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{3}^{4} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{3}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{4})$

Paso 5

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{3}^{4})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $4$ y en $3$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 6.2.6

Mueve $3^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Paso 6.2.7

Multiplica $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.7.1

Mueve $3^{- 1}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Paso 6.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Paso 6.2.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Paso 6.2.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Paso 6.2.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Paso 6.2.7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Paso 6.2.7.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Paso 6.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{16}{3}) + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2

Multiplica $2 (\frac{16}{3})$ .

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32}{3} + 2 (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{32}{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$3.73846343 \dots$

Paso 9