Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $k e^{- 2 x} - 2 x^{k^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [k e^{- 2 x}]$ .

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Paso 2.1

Como $k$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $k e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$k \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$k (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$k (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$k (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 2.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{k^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{k^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 \frac{d}{d x} [x^{k^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = k^{2}$ .

$k (- 2 e^{- 2 x}) - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- 2 x} k - 2 x^{k^{2} - 1} k^{2}$ .

$- 2 k e^{- 2 x} - 2 k^{2} x^{k^{2} - 1}$