Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x \cdot 7^{x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = 7^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{\ln (7)}$ y $7^{x}$ .

$x \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (7)} \cdot 7^{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{\ln (7)}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{\ln (7)}$ fuera de la integral.

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (7)} \int_{0}^{1} 7^{x} d x)$

Paso 4

La integral de $7^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (7)} \frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{x \cdot 7^{x}}{\ln (7)}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{\frac{7^{x}}{\ln (7)}]_{0}^{1}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.2

Evalúa $\frac{7^{x}}{\ln (7)}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1 \cdot 7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Evalúa el exponente.

$\frac{1 \cdot 7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 7^{0}}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 + 0}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.6

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{(\frac{7^{1}}{\ln (7)}) - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.7

Evalúa el exponente.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{7^{0}}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7}{\ln (7)} - \frac{1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{7 - 1}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.10

Resta $1$ de $7$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$

Paso 5.2.3.11

Reescribe $\frac{\frac{6}{\ln (7)}}{\ln (7)}$ como un producto.

$\frac{7}{\ln (7)} - (\frac{6}{\ln (7)} \cdot \frac{1}{\ln (7)})$

Paso 5.2.3.12

Multiplica $\frac{6}{\ln (7)}$ por $\frac{1}{\ln (7)}$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln (7) \ln (7)}$

Paso 5.2.3.13

Eleva $\ln (7)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln (7)}$

Paso 5.2.3.14

Eleva $\ln (7)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)}$

Paso 5.2.3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{{\ln (7)}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.3.16

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{\ln (7)} - \frac{6}{\ln^{2} (7)}$

Forma decimal:

$2.01273935 \dots$

Paso 7