Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{5} x^{- 4} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{t}^{5}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ en $5$ y en $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{3} \cdot 5^{- 3}) + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Paso 4.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{125} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1}{125}$ por $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{125 \cdot 3} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Paso 4.2.4

Multiplica $125$ por $3$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3} t^{- 3}$

Paso 4.2.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $t^{- 3}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{t^{- 3}}{3}$

Paso 4.2.6

Mueve $t^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{375} + \frac{1}{3 t^{3}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite de $\frac{1}{375}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$- \frac{1}{375} + lim_{t \to - \infty} \frac{1}{3 t^{3}}$

Paso 5.1.3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} lim_{t \to - \infty} \frac{1}{t^{3}}$

Paso 5.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t^{3}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{375} + \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{375} + 0$

Paso 5.3.2

Suma $- \frac{1}{375}$ y $0$ .

$- \frac{1}{375}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{375}$

Forma decimal:

$- 0.002\overline{6}$