Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{- 4}{6}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 18 (2 x)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 36 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.6

Combina $\frac{- 6}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 1.2.2.7.1

Factoriza $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.2.7.2.4

Divide $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [36 x]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 6 x + 36$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} + 6 x + 36$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $- 2$ de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) + 36 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $- 2$ de $36$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot - 18 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (- 18)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = - \frac{1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.2

Factoriza $6$ de ${(6)}^{4}$ .

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 6^{3}) + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (6) = - 1 \cdot 6^{3} + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = - 1 \cdot 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $216$ .

$f (6) = - 216 + {(6)}^{3} + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 {(6)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 18 \cdot 36$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $18$ por $36$ .

$f (6) = - 216 + 216 + 648$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $- 216$ y $216$ .

$f (6) = 0 + 648$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $648$ .

$f (6) = 648$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $648$ .

$648$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ es $(6, 648)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, 648)$

Paso 3.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 3)}^{4} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 (2)} \cdot 81 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot 27) + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- 3) = \frac{- 1}{2} \cdot 27 + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f (- 3) = \frac{- 27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 {(- 3)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 18 \cdot 9$

Paso 3.3.2.1.8

Multiplica $18$ por $9$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} - 27 + 162$

Paso 3.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.3.2.2.1

Escribe $- 27$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 162$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 162$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 162$

Paso 3.3.2.2.4

Escribe $162$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1}$

Paso 3.3.2.2.5

Multiplica $\frac{162}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.3.2.2.6

Multiplica $\frac{162}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{162 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 162 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 162 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.4.2

Multiplica $162$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 - 54 + 324}{2}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.5.1

Resta $54$ de $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{- 81 + 324}{2}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 81$ y $324$ .

$f (- 3) = \frac{243}{2}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{243}{2}$ .

$\frac{243}{2}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{3} + 18 x^{2}$ es $(- 3, \frac{243}{2})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \frac{243}{2})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(6, 648), (- 3, \frac{243}{2})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = - 2 {(- 3.1)}^{2} + 6 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 2 \cdot 9.61 + 6 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 + 6 (- 3.1) + 36$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 19.22 - 18.6 + 36$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $18.6$ de $- 19.22$ .

$f'' (- 3.1) = - 37.82 + 36$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 37.82$ y $36$ .

$f'' (- 3.1) = - 1.82$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1.82$ .

$- 1.82$

Paso 5.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 1.82$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 \frac{9}{2^{2}} + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - 2 (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (- 1) (\frac{9}{4}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = - 1 (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{9}{2})$ como $- (\frac{9}{2})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - (\frac{9}{2}) + 6 (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{3}{2}) + 36$

Paso 6.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) + 36$

Paso 6.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 3 \cdot 3 + 36$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + 9 + 36$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} + 36$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + 36$

Paso 6.2.2.4

Escribe $36$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 9 \cdot 2 + 36 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 36 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $36$ por $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 72}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 6.2.5.1

Suma $- 9$ y $18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{9 + 72}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $9$ y $72$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{2}$

Paso 6.3

En $\frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $40.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 6)$ .

Incremento en $(- 3, 6)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = - 2 {(6.1)}^{2} + 6 (6.1) + 36$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6.1) = - 2 \cdot 37.21 + 6 (6.1) + 36$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 6 (6.1) + 36$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = - 74.42 + 36.6 + 36$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 74.42$ y $36.6$ .

$f'' (6.1) = - 37.82 + 36$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 37.82$ y $36$ .

$f'' (6.1) = - 1.82$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 1.82$ .

$- 1.82$

Paso 7.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $- 1.82$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(6, \infty)$ .

Decrecimiento en $(6, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$ .

$(- 3, \frac{243}{2}), (6, 648)$

Paso 9