Cálculo Ejemplos

$10 - \frac{1}{5} {(t - 6)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(t - 6)}^{2}$ como $(t - 6) (t - 6)$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} ((t - 6) (t - 6))]$

Paso 2

Expande $(t - 6) (t - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t (t - 6) - 6 (t - 6))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t \cdot t + t \cdot - 6 - 6 (t - 6))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t \cdot t + t \cdot - 6 - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} + t \cdot - 6 - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 6 \cdot t - 6 t - 6 \cdot - 6)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 6 t - 6 t + 36)]$

Paso 3.2

Resta $6 t$ de $- 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 - \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$ .

$\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Paso 4.2

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)]$ .

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Paso 5.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{1}{5} (t^{2} - 12 t + 36)$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} - 12 t + 36]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d t} [t^{2} - 12 t + 36]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 12 t + 36$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36]$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t + \frac{d}{d t} [- 12 t] + \frac{d}{d t} [36])$

Paso 5.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 12 t$ con respecto a $t$ es $- 12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [36])$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [36])$

Paso 5.6

Como $36$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $36$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 \cdot 1 + 0)$

Paso 5.7

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12 + 0)$

Paso 5.8

Suma $2 t - 12$ y $0$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 t - 12)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 - \frac{1}{5} (2 t) - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) t - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Paso 6.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} t - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{- 2}{5}$ y $t$ .

$0 + \frac{- 2 t}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Paso 6.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{2 t}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 12$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$0 - \frac{2 t}{5} + 12 (\frac{1}{5})$

Paso 6.2.6

Combina $12$ y $\frac{1}{5}$ .

$0 - \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5}$

Paso 6.2.7

Resta $- (- \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5})$ de $0$ .

$- \frac{2 t}{5} + \frac{12}{5}$