Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[0, 1]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{4}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[0, 1]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Paso 7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Paso 8

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Paso 8.3

Resta $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Paso 8.5

Resta $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Paso 10

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Paso 11

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Paso 12.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Paso 13

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Paso 13.2

Suma $1$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Paso 14

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 14.1.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Paso 14.1.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Paso 14.2

Multiplica $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ por $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Paso 15

Simplifica $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Paso 16

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Paso 17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Paso 18

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Paso 19