Cálculo Ejemplos

$- y^{2} - x^{2} y - x^{2} = - 2$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - x^{2} y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} - x^{2} y - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$- 2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 2 x$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 2 x$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 2 x$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- 2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 2 x$

Paso 3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 2 x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' - x^{2} y' - 2 x = 2 x y$

Paso 5.1.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' - x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (- 2 y - x^{2}) = 2 x y + 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 2 y - x^{2}) = 2 x y + 2 x$ por $- 2 y - x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 2 y - x^{2}) = 2 x y + 2 x$ por $- 2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 y - x^{2})}{- 2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{- 2 y - x^{2}} + \frac{2 x}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2 y - x^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 y - x^{2})}{- 2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{- 2 y - x^{2}} + \frac{2 x}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- 2 y - x^{2}} + \frac{2 x}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y + 2 x}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x y + 2 x$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (y) + 2 x}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 x (y) + 2 x (1)}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (y) + 2 x (1)$ .

$y' = \frac{2 x (y + 1)}{- 2 y - x^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 x (y + 1)}{- (2 y) - x^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x (y + 1)}{- (2 y) - (x^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - (x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (y + 1)}{- (2 y + x^{2})}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.6.1

Reescribe $- (2 y + x^{2})$ como $- 1 (2 y + x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x (y + 1)}{- 1 (2 y + x^{2})}$

Paso 5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x (y + 1)}{2 y + x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 1)}{2 y + x^{2}}$