Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Paso 4

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Paso 9.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$