Cálculo Ejemplos

$y = x e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.2.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Paso 2.4.3

Reordena los factores en $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} + e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Paso 5.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Paso 9.1.2

Reescribe $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Paso 9.1.4

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

Paso 9.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 10

$x = - 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

Paso 11.2.2

Reescribe $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x e^{x}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e})$ es un mínimo local

Paso 13