Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Combina $12$ y $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Paso 1.2

Combina $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ y $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Paso 2

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Paso 3

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x^{6}$ . Entonces $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x^{6}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Paso 5.3

Mueve $6$ a la izquierda de $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $12$ y $6$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Paso 8

Sea $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Paso 8.1.2

Diferencia.

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Paso 8.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 8.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $5$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 8.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$