Cálculo Ejemplos

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Paso 1

Escribe $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ como una función.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Paso 2

La función $F (t)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Paso 4

Dado que $d$ es constante con respecto a $t$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.5

Suma $- 3$ y $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.6

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.8

Suma $- 9$ y $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Paso 5.9

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Paso 5.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Paso 5.11

Suma $3$ y $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Paso 5.12

Mueve $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Paso 5.13

Reordena $10 t^{- 2}$ y $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Paso 9

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Paso 11

Dado que $12$ es constante con respecto a $t$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 8}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Paso 13.1.2

Combina $t^{- 7}$ y $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Paso 13.1.3

Mueve $t^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Paso 13.2

Simplifica.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$