Cálculo Ejemplos

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Paso 1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Paso 1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Paso 1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Paso 3

Completa el cuadrado.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Expande $(- x + 2) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Paso 3.1.2.2

Suma $- 6 x$ y $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Paso 3.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Paso 3.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Paso 3.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 2$ como $- - 2$ .

$d = - - 2$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$d = 2$

Paso 3.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.6

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 12 - - 4$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Paso 3.5.2.2

Suma $12$ y $4$ .

$e = 16$

Paso 3.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Paso 4

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Paso 5.2

Reordena $- u^{2}$ y $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 7

Reescribe $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ como $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$