Cálculo Ejemplos

\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Reordena los términos.

\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Paso 1.2

Para un polinomio de la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12

$a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es

b = - 4

$b = - 4$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza

- 4

$- 4$ de

- 4 x

$- 4 x$ .

\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Paso 1.2.2

Reescribe

- 4

$- 4$ como

2

$2$ más

- 6

$- 6$

\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Paso 1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Paso 1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

- x + 2

$- x + 2$ .

\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Paso 2

Dado que

8

$8$ es constante con respecto a

x

$x$ , mueve

8

$8$ fuera de la integral.

8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Paso 3

Completa el cuadrado.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Expande

(- x + 2) (x + 6)

$(- x + 2) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

- x (x + 6) + 2 (x + 6)

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Paso 3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Mueve

x

$x$ .

- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.1.2

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica

$6$ por

$- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica

$2$ por

$6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Paso 3.1.2.2

Suma

$- 6 x$ y

$2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Paso 3.2

Usa la forma

$a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de

$a$ ,

$b$ y

$c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Paso 3.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.4

Obtén el valor de

$d$ con la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de

$- 4$ y

$2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza

$2$ de

$- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de

$\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Paso 3.4.2.2

Reescribe

$- 1 \cdot - 2$ como

$- - 2$ .

$d = - - 2$

Paso 3.4.2.3

Multiplica

$- 1$ por

$- 2$ .

$d = 2$

Paso 3.5

Obtén el valor de

$e$ con la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.5.1

Sustituye los valores de

$c$ ,

$b$ y

$a$ en la fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común de

${(- 4)}^{2}$ y

$4$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Reescribe

$- 4$ como

$- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a

$- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.3

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.4

Multiplica

$4^{2}$ por

$1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.5

Factoriza

$4$ de

$4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.5.2.1.1.6

Mueve el negativo del denominador de

$\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica

$- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$4$ .

$e = 12 - - 4$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica

$- 1$ por

$- 4$ .

$e = 12 + 4$

Paso 3.5.2.2

Suma

$12$ y

$4$ .

$e = 16$

Paso 3.6

Sustituye los valores de

$a$ ,

$d$ y

$e$ en la forma de vértice

$- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Paso 4

Sea

$u = x + 2$ . Entonces

$d u = d x$ . Reescribe mediante

$u$ y

$d$

$u$ .

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Paso 4.1

Deja

$u = x + 2$ . Obtén

$\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia

$x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de

$x + 2$ con respecto a

$x$ es

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

$n x^{n - 1}$ donde

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Como

$2$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$2$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma

$1$ y

$0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante

$u$ y

$d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Reescribe

$16$ como

$4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Paso 5.2

Reordena

$- u^{2}$ y

$4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 6

La integral de

$\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ con respecto a

$u$ es

$\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Paso 7

Reescribe

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ como

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Paso 9.2

Combina

$\frac{1}{4}$ y

$x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Paso 9.3

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza

$2$ de

$4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$