Cálculo Ejemplos

$4 x (1 + \ln (x))$

Paso 1

Escribe $4 x (1 + \ln (x))$ como una función.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Paso 4.3

Simplifica $4 \ln (x)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Paso 5

Reescribe $4 x + x \ln (x^{4})$ como $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Paso 9

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Paso 10

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 11.3

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 11.5

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Paso 11.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 11.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Paso 11.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.6.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 11.6.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Paso 14.2

Simplifica.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Paso 14.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 14.4

Simplifica.

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Paso 14.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 14.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 14.4.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 14.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 14.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{4}$ al numerador.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Paso 14.4.3.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Paso 14.4.3.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Paso 14.4.4

Reordena los factores en $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Paso 14.4.5

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$