Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x - 2}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 2)}^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x - 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.2

Divide $2 x^{2} - 5 x - 2$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = (A) (x - 1) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Factoriza $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.7.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 1))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + \frac{B (x - 2) (x - 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2.4

Divide $B (x - 2) (x - 1)$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x + B \cdot - 2) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.7

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + (B x - 2 \cdot B) (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.8

Expande $(B x - 2 B) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.7.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x (x - 1) - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B (x - 1) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.7.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.9.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.7.9.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} + B x \cdot - 1 - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9.1.3

Reescribe $- 1 (B x)$ como $- (B x)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 1 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - B x - 2 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.9.2

Resta $2 B x$ de $- B x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.10

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.10.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.10.2

Divide $(C) {(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

Paso 1.1.7.11

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C ((x - 2) (x - 2))$

Paso 1.1.7.12

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.7.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Paso 1.1.7.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Paso 1.1.7.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.7.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.7.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.13.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.7.13.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.7.13.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Paso 1.1.7.13.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 1.1.7.14

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

Paso 1.1.7.15

Simplifica.

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Paso 1.1.7.15.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

Paso 1.1.7.15.2

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 B x + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + 2 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Paso 1.1.8.2

Mueve $2 B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x - A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x + 2 B + 4 C$

Paso 1.1.8.3

Mueve $- A$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Paso 1.1.8.4

Mueve $- 3 x B$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Paso 1.1.8.5

Mueve $A x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 2 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 4 C x - A + 2 B + 4 C$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$2 = B + C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $B$ en $2 = B + C$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $B + C = 2$ .

$B + C = 2$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$B = 2 - C$

$- 5 = A - 3 B - 4 C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2 - C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 5 = A - 3 B - 4 C$ por $2 - C$ .

$- 5 = A - 3 (2 - C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $A - 3 (2 - C) - 4 C$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 = A - 3 \cdot 2 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 5 = A - 6 - 3 (- C) - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 + 3 C - 4 C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $4 C$ de $3 C$ .

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 2 = - 1 A + 2 B + 4 C$ por $2 - C$ .

$- 2 = - 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Simplifica $- 1 A + 2 (2 - C) + 4 C$ .

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Paso 1.3.2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.4.1.1.1

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$- 2 = - A + 2 (2 - C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.2.4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 = - A + 2 \cdot 2 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.2.4.1.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 2 = - A + 4 + 2 (- C) + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.2.4.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 - 2 C + 4 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.2.4.1.2

Suma $- 2 C$ y $4 C$ .

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

$B = 2 - C$

Paso 1.3.3

Reordena $2$ y $- C$ .

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$- 5 = A - 6 - C$

Paso 1.3.4

Resuelve $A$ en $- 5 = A - 6 - C$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $A - 6 - C = - 5$ .

$A - 6 - C = - 5$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$A - C = - 5 + 6$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 5 + 6 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Paso 1.3.4.2.3

Suma $- 5$ y $6$ .

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - A + 4 + 2 C$

Paso 1.3.5

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 + C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.5.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 2 = - A + 4 + 2 C$ por $1 + C$ .

$- 2 = - (1 + C) + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.2.1

Simplifica $- (1 + C) + 4 + 2 C$ .

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Paso 1.3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 = - 1 \cdot 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.5.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = - 1 - C + 4 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.5.2.1.2.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$- 2 = - C + 3 + 2 C$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.5.2.1.2.2

Suma $- C$ y $2 C$ .

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$- 2 = C + 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.6

Resuelve $C$ en $- 2 = C + 3$ .

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Paso 1.3.6.1

Reescribe la ecuación como $C + 3 = - 2$ .

$C + 3 = - 2$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$C = - 2 - 3$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.6.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

$C = - 5$

$A = 1 + C$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.7

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 5$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.7.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $A = 1 + C$ por $- 5$ .

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.7.2

Simplifica $A = 1 - 5$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.7.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = 1 - 5$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.7.2.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = - C + 2$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = - C + 2$ por $- 5$ .

$B = - (- 5) + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

Paso 1.3.7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.7.4.1

Simplifica $- (- 5) + 2$ .

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Paso 1.3.7.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$B = 5 + 2$

$A = - 4$

$C = - 5$

Paso 1.3.7.4.1.2

Suma $5$ y $2$ .

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

$B = 7$

$A = - 4$

$C = - 5$

Paso 1.3.8

Enumera todas las soluciones.

$B = 7, A = - 4, C = - 5$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} + \frac{- 5}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{7}{x - 2} - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 6.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- 4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 4 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 4 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{7}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 9

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 10.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{5}{x - 1} d x$

Paso 13

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - (5 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Paso 14

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 15

Sea $u_{3} = x - 1$ . Entonces $d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 15.1

Deja $u_{3} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 15.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 15.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 15.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 15.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 15.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Paso 16

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 7 (\ln (| u_{2} |) + C) - 5 (\ln (| u_{3} |) + C)$

Paso 17

Simplifica.

$\frac{4}{u_{1}} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| u_{2} |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| u_{3} |) + C$

Paso 18.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x - 1$ .

$\frac{4}{x - 2} + 7 \ln (| x - 2 |) - 5 \ln (| x - 1 |) + C$